如圖，已知直線l1∥l2，點A是l1，l2上兩直線之間的動點，且到l1距離為4，到l2距離為3，若
AC
•
AB
=0，AC與直線l2交于點C，則△ABC面積的最小值為（　�。�
分析：過A作直線l1的垂線交點分別為E和F，由l1∥l2，得到直線EF也與l2垂直，從而得到AE及AF的值，由兩向量的數(shù)量積積為0得到兩向量垂直，即AB與AC垂直，設∠FAC=θ，則有∠EAB=
π
2
-θ，分別在直角三角形AEB和AFC中，由AE，AF，及設出的角度利用余弦函數(shù)定義表示出AB積AC，由三角形ABC為直角三角形，用直角邊AB與AC的乘積表示出三角形的面積，利用誘導公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到面積的最小值．
解答：
解：過A作l1的垂線，與l1，l2分別交于點E和F，又l1∥l2，故直線EF也與l2垂直，
則根據(jù)題意得AE=4，AF=3，
∵
AC
•
AB
=0，∴AB⊥AC，即∠BAC=
π
2
，
令∠FAC=θ，則∠EAB=
π
2
-θ，
∴cosθ=
3
AC
，則AC=
3
cosθ
，
同理可得AB=
4
cos(
π
2
-θ)
，
∴S△ABC=
1
2
AB•AC=
6
cosθcos(
π
2
-θ)
=
12
2sinθcosθ
=
12
sin2θ
≥12，
則△ABC的面積最小值為12．
故選C
點評：此題考查了平面向量數(shù)量積的運算，銳角三角函數(shù)定義，正弦函數(shù)的定義域及值域，誘導公式及二倍角的正弦函數(shù)公式，利用了數(shù)形結合的思想，過A作出已知直線的垂線EF是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直線l1：4x+y=0，直線l2：x+y-1=0以及l(fā)2上一點P（3，-2）．
（Ⅰ）求圓心M在l1上且與直線l2相切于點P的圓⊙的方程．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下；若直線l1分別與直線l2、圓⊙依次相交于A、B、C三點，利用代數(shù)法驗證：|AP|2=|AB|•|AC|．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直線l1：y=2x+m（m＜0）與拋物線C1：y=ax2（a＞0）和圓C2：x2+（y+1）2=5都相切，F(xiàn)是C1的焦點．
（1）求m與a的值；
（2）設A是C1上的一動點，以A為切點作拋物線C1的切線l，直線l交y軸于點B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點M在一條定直線上；
（3）在（2）的條件下，記點M所在的定直線為l2，直線l2與y軸交點為N，連接MF交拋物線C1于P，Q兩點，求△NPQ的面積S的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直線l1：4x+y=0，直線l2：x+y-1=0以及l(fā)2上一點P（3，-2）．求有圓心在l1上且與直線l2相切于點P的圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直線l1∥l2，點A是l1，l2之間的定點，點A到l1，l2之間的距離分別為3和2，點B是l2上的一動點，作AC⊥AB，且AC與l1交于點C，則△ABC的面積的最小值為
6
6
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案