已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義:導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線的斜率,再與y=5x+l比較列出關(guān)于a,b的方程組,解之即得實(shí)數(shù)a,b的值.
(2)先求出g(x)的導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)函數(shù)為0求出根,判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號,判斷出函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值.
解答:解:(1)f(x)=x2-3ax-a+3,
函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,
f′(0)=-a+3=5
f(0)=b=1
則∴a=-2,b=1,(4分)
(2)g(x)=
f′(x)
x
-
x2-3ax-a+3
x
g′(x)=
(2x-3a)x-(x2-3ax-a+3)
x2
=
x2-(3-a)
x2
(6分)
因?yàn)樵赱1,2]上求y=g(x)的最大值,故只討論x>O時(shí),g(x)的單調(diào)性.
∵a<3∴3-a>O,令g’(x)=0
?
x=
3-a

∵當(dāng)0<x<
3-a
時(shí),g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x≥
3-a
時(shí),g'(x)>0.g(x)單調(diào)遞增.lO分
∴當(dāng)x=1或x=2時(shí).g(x)取得最大值g(1)或g(2)
其中g(shù)(1)=4-4a,g(2)=
7-7a
2
,由g(1)>g(2)得4-4a>
7-7a
2
?a<1

故當(dāng)a<1時(shí),g(x)max=g(1)=4-4a;
當(dāng)1≤a<3時(shí),g(x)max=g(2)=
7-7a
2
(14分)
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義:導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線的斜率、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時(shí)滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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