Question

已知點(diǎn)C(1,0)，點(diǎn)A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意兩個不同的點(diǎn)，且滿足·＝0，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程；

(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線x＝－1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離？若存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

（1）x2－x＋y2＝4

（2）存在，(1，－2)和(1,2)

【解析】(1)連接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，

∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．

由垂徑定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，

即|OP|2＋|CP|2＝9．

設(shè)點(diǎn)P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，

化簡，得到x2－x＋y2＝4．

(2)根據(jù)拋物線的定義，到直線x＝－1的距離等于到點(diǎn)C(1,0)的距離的點(diǎn)都在拋物線y2＝2px上，其中＝1，

∴p＝2，故拋物線方程為y2＝4x．

由方程組，得x2＋3x－4＝0，

解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，

故取x＝1，此時y＝±2．

故滿足條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為(1，－2)和(1,2)．