Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n＝2a_n－1；數(shù)列{b_n}滿足b_n－1－b_n＝b_nb_n－1(n≥2，n∈N^*)，b₁＝1.

(1)求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n.

Answer 1

解析：　(1)由S_n＝2a_n－1，得S₁＝2a₁－1，∴a₁＝1.

又S_n＝2a_n－1，S_n－1＝2a_n－1－1(n≥2)，

兩式相減，得S_n－S_n－1＝2a_n－2a_n－1，a_n＝2a_n－2a_n－1.

∴a_n＝2a_n－1，n≥2.

∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．

∴a_n＝1·2^n－1＝2^n－1.

由b_n－1－b_n＝b_nb_n－1(n≥2，n∈N^*)，得－＝1.

又b₁＝1，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．

∴＝1＋(n－1)·1＝n.

∴b_n＝.

(2)由(1)可知＝n·2^n－1，

∵T_n＝1·2⁰＋2·2¹＋…＋n·2^n－1，

∴2T_n＝1·2¹＋2·2²＋…＋n·2ⁿ.

兩式相減，得－T_n＝1＋2¹＋…＋2^n－1－n·2ⁿ＝－n·2ⁿ＝－1＋2ⁿ－n·2ⁿ.

∴T_n＝(n－1)·2ⁿ＋1.