從邊長為2a的正方形鐵皮的四個角各截去一個邊長為x的小正方形，再將四邊向上折起，做成一個無蓋的長方體鐵盒，且要求長方體的高度x與底面正方形的邊長的比不超過常數(shù)t．問：
（1）求長方體的容積V關于x的函數(shù)表達式；
（2）x取何值時，長方體的容積V有最大值？
分析：（1）先求出長方體的底面正方形的邊長和高，便可求出長方體的容積V解析式．
（2）把容積V變形后使用基本不等式求出最大值，注意分析等號成立條件能否滿足，
當?shù)忍柍闪l件不能滿足時，利用導數(shù)值的符號確定函數(shù)的單調性，由單調性確定函數(shù)的最大值．
解答：解：（1）長方體的底面正方形的邊長為2a-2x，高為x，所以，容積V=4（x-a）2x，
由
x
2a-2x
≤t，得 0＜x≤
2ta
1+2t
，
（2）由均值不等式知V=2（a-x）（a-x）（2x）≤2(
a-x+a-x+2x
3
)3=
16a3
27
，
當a-x=2x，即x=
a
3
時等號成立．
①當
a
3
≤
2ta
1+2t
，即t≥
1
4
，Vmax=
16a3
27
；
②當
a
3
＞
2ta
1+2t
，即0＜t＜
1
4
時，V′(x)=12(x-
2a
3
)2-
4a2
3
，
則V′（x）在(0，
a
3
)上單調遞減，
∴V′(x)≥V′(
2ta
1+2t
)＞V′(
a
3
)=0，
∴V（x）在(0，
2ta
1+2t
]單調遞增，
∴V(x)max=V(
2ta
1+2t
)=
8ta3
(1+2t)3

總之，若0＜t＜
1
4
，則當x=
2ta
1+2t
時，Vmax=
8ta3
(1+2t)3
；
若t≥
1
4
，則當x=
a
3
時，Vmax=
16a3
27
．
點評：本題考查基本不等式在函數(shù)最值中的應用，利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調性，由函數(shù)的單調性確定函數(shù)的最大值．
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