Question

已知函數(shù)f(x)=xn-

4

x

，且f（4）=3．
（1）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若在區(qū)間[1，3]上，不等式f（x）＞2x+2m+1恒成立，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（4）=3可求n=1，從而可得f(x)=x-

4

x

，然后檢驗(yàn)f（-x）與f（x）的關(guān)系即可判斷
（2）要判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，先設(shè)0＜x₁＜x₂，時(shí)，利用作差f（x₁）-f（x₂）判斷f（x₁）與f（x₂）的大小即可判斷
（3）由f（x）＞2x+2m+1，可得2m+1＜-x-

4

x

=-(x+

4

x

)，只要求2m+1＜-x-

4

x

=-(x+

4

x

)_min，可求m的范圍

解答：解：（1）由f（4）=3得：n=1
∴f(x)=x-

4

x

，其定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
又f(-x)=-x-

4

-x

=-(x-

4

x

)=-f(x)
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上為奇函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
證明如下：任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
那么f(x1)-f(x2)=(x1-

4

x1

)-(x2-

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2+4)

x1x2

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）由f（x）＞2x+2m+1，
得x-

4

x

＞2x+2m+1
∴2m+1＜-x-

4

x

∴當(dāng)x∈[1，3]，-(x+

4

x

)的最小值是-5，
∴2m+1＜-5，得m＜-3，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用