如圖，兩塊直角三角板拼在一起，已知∠ABC=45°，∠BCD=60°．
（1）若記
AB
=
a
，
AC
=
b
，試用
a
，
b
表示向量
AD
，
CD
；
（2）若AB=
2
，求
AE
•
CD
．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）利用向量共線定理可得
BD
=
3
AC
，再利用向量三角形法則即可得出；
（2）利用平行線的性質(zhì)由BD∥AC可得
AC
BD
=
AE
ED
=
3
3
，可得
AE
=
3
-1
2
AD
．再利用（1）的結(jié)論和數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
解答： 解：（1）∵AC⊥BC，BD⊥BC，
∴BD∥AC，
∵|
BD
|=
3
|
BC
|=
3
|
AC
|，
∴
BD
=
3
AC
，
∴
AD
=
AB
+
BD
=
AB
+
3
AC
=
a
+
3
b
，
∵
CD
=
CA
+
AD
，
∴
CD
=-
b
+
a
+
3
b
=
a
+(
3
-1)
b
．
（2）∵BD∥AC，
∴
AC
BD
=
AE
ED
=
3
3
，
∴
AE
AD
=
3
-1
2
，
∴
AE
=
3
-1
2
AD
．
∵AB=
2
，∴AC=BC=1．
∴
a
•
b
=1×
2
×
2
2
=1．
∴
AE
•
CD
=
3
-1
2
AD
•
CD
=
3
-1
2
(
a
+
3
b
)•[
a
+(
3
-1)
b
]
=
3
-1
2
=[
a
2+(3-
3
)
b
2+(2
3
-1)
a
•
b
]
=
3
-1
2
(4+
3
)
=
3
3
-1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知各項(xiàng)均大于1的數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，an+1=
1
2
(an+
1
an
)（n∈N*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{log5
an+1
an-1
}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求證：
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜n+
1
2
(n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=2x+
1-x2
，求函數(shù)值域（用畫(huà)圖法解答）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosC=b-
1
2
c．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=
3
，求三角形ABC面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知全集U={x|1＜x＜7}，A={x|2≤x＜5}，B={x|3x-7≥8-2x}求A∩B及∁UA．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證（a+b）（b+c）（c+a）＞8abc．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos2x，（x∈R）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

有編號(hào)為A1，A2，…，A10的10個(gè)零件，測(cè)量其直徑（單位：cm），得到下面數(shù)據(jù)：
編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10
直徑1.521.471.481.511.491.511.471.461.511.47
其中直徑在區(qū)間[1.48，1.52]內(nèi)的零件為一等品．
（Ⅰ）從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件不是一等品的概率；
（Ⅱ）從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個(gè)．
（i）用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；
（ii）求這2個(gè)零件直徑均大于1.50的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知下列命題：
（1）若一直線垂直于一個(gè)平面的一條斜線，則該直線必垂直于該斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影；
（2）平面內(nèi)與這個(gè)平面的一條斜線垂直的直線互相平行；
（3）若平面外的兩條直線，在這個(gè)平面上的射影互相垂直，則這兩條直線互相垂直；
（4）若兩條直線互相垂直，且其中的一條平行一個(gè)平面，另一條是這個(gè)平面的斜線，則這兩條直線在這個(gè)平面上的射影互相垂直．
上述命題正確的是
 
．（填寫序號(hào)）

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