Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a＞0）．數列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1（n∈N^*）．
（1）若{a_n}是等差數列，且b₃=12，求a的值及{a_n}的通項公式；
（2）若{a_n}是等比數列，求{b_n}的前項和S_n．

Answer 1

分析：（1）先根據{a_n}是等差數列表示出通項公式，再根據b₃=12求得a₃a₄的值從而可確定a的值，求得{a_n}的通項公式．
（2）先根據{a_n}是等比數列表示出通項公式，進而可表示出b_n的表達式，根據

bn+1

bn

=a²可確定數列{b_n}是首項為a，公比為a²的等比數列，再對公比a等于1和不等于1進行討論，即可得到最后答案．

解答：解：（1）∵{a_n}是等差數列，a₁=1，a₂=a（a＞0），∴a_n=1+（n-1）（a-1）．
又b₃=12，∴a₃a₄=12，即（2a-1）（3a-2）=12，
解得a=2或a=-

5

6

，
∵a＞0，∴a=2從而a_n=n．
（2）∵{a_n}是等比數列，a₁=1，a₂=a（a＞0），∴a_n=a^n-1，則b_n=a_na_n+1=a^2n-1．

bn+1

bn

=a²∴數列{b_n}是首項為a，公比為a²的等比數列，
當a=1時，S_n=n；
當a≠1時，Sn=

a(1-a2n)

1-a2

=

a2n+1-a

a2-1

．

點評：本題主要考查數列的通項公式的求法和數列求和．高考對數列的考查無外乎通項公式的求法和前n項和的求法，對經常用到的常用方法要熟練掌握．