Question

13．已知圓O：x²+y²=1，圓M：（x-a）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1．若圓M上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得∠APB=60°，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]∪[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．

Answer 1

分析 求出P點(diǎn)軌跡是圓x²+y²=4，題意即圓M：（x-a）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1與圓x²+y²=4有公共點(diǎn)，得到關(guān)于a的不等式求得答案．

解答 解：圓O的半徑為1，圓M上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得∠APB=60°，
則∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，P點(diǎn)軌跡是圓x²+y²=4
題意即圓M：（x-a）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1與圓x²+y²=4有公共點(diǎn)．
∴$1≤\sqrt{{a^2}+3{a^2}}≤3$
∴a∈$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]∪[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．
故答案為：$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]∪[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合將條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．