Question

如圖，一船由西向東航行，測(cè)得某島M的方位角為α，前進(jìn)5km后，測(cè)得此島的方位角為β，已知該島周圍3km內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，
（1）若α=60°，β=45°，問該船有無觸礁危險(xiǎn)？
（2）當(dāng)α，β滿足什么條件時(shí)，該船有觸礁的危險(xiǎn)？

Answer 1

分析：（1）確定∠AMC、∠BMC，利用AB=5，求出MC與3比較，即可得到結(jié)論；
（2）求出AC、BC可得MC，當(dāng)且僅當(dāng)MC≤3時(shí)，該船有觸礁危險(xiǎn)．

解答：解：（1）∵α=60°，β=45°，∴在Rt△MCA，∠AMC=60°，Rt△MCB中，∠BMC=45°，
∵AB=5，∴

3

MC-MC=5
∴MC=

5

3 -1

=

5( 3 +1)

2

＞3
∴該船沒有觸礁危險(xiǎn)．------------------（8分）
（2）在Rt△MCA，AC=tanα•MC，Rt△MCB中，BC=tanβ•MC
∴AB=AC-BC=tanα•MC-tanβ•MC=5，∴MC=

5

tanα-tanβ

∴當(dāng)

5

tanα-tanβ

≤3時(shí)，該船有觸礁危險(xiǎn)．-------------------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題軛能力，屬于基礎(chǔ)題．