Question

如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.

 (Ⅰ) 求證：平面

（Ⅱ）若求與所成角的余弦值；

（Ⅲ）當(dāng)平面與平面垂直時，求的長.

Answer 1

解：證明：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD.                                         

所以PA⊥BD. 又因?yàn)?sub>                          

所以BD⊥平面PAC.                                       

（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O.

因?yàn)椤螧AD=60°，PA=AB=2,                                

所以BO=1，AO=CO=.                                   

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為X軸，OC為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，則            

P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.

所以                           

設(shè)PB與AC所成角為，則

.                        

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

設(shè)P（0，－，t）（t>0），則                   設(shè)平面PBC的法向量,

則

所以取則所以 

同理，平面PDC的法向量                        

因?yàn)槠矫鍼CB⊥平面PDC,所以=0，即

解得 ，所以PA=