Question

某班甲、乙、丙三名同學參加省數(shù)學競賽選拔考試，成績合格可獲得參加競賽的資格．其中甲同學表示成績合格就去參加，但乙、丙同學約定：兩人成績都合格才一同參加，否則都不參加，設(shè)每人成績合格的概率都是，求：
（1）三人中至少有1人成績合格的概率；
（2）去參加競賽的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

解：（1）用A，B，C分別表示甲乙丙三人參加省數(shù)學競賽選拔考試成績合格，由題意知A，B，C相互獨立，且P（A）==P（B）=P（C），利用獨立事件同時發(fā)生及對立事件的定義則：三人中至少有1人成績合格的概率P=1-，
（2）由題意由于ξ表示去參加競賽的人數(shù)，所以該隨機變量可以取值0，1，2，3，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）=，
P（ξ=3）=，
所以ξ的分布列為：

所以隨機變量ξ的期望Eξ=．
分析：（1）由題意可以用A，B，C分別表示甲乙丙三人參加省數(shù)學競賽選拔考試成績合格，由題意知A，B，C相互獨立，且P（A）==P（B）=P（C），利用獨立事件同時發(fā)生及對立事件的概率公式即可求得；
（2）由于ξ表示去參加競賽的人數(shù)，所以根據(jù)題意該隨機變量可以取值0，1，2，3，利用隨機變量的定義及獨立事件同時發(fā)生的概率公式及互斥事件的概率公式求出每一個隨機變量取值下的事件的概率，并利用隨機變量的定義寫出分布列并利用分布列求出期望即可．
點評：此題屬于基本題型，重點在與學生要正確理解題意，還要分清事件，并用準相應的概率公式，此外此題還考查了離散型隨機變量的定義及其分布列，并利用分布列借助期望定義求出期望．