Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足csinA=

3

acosC
（I）求角C的大��；
（II）求函數(shù)f(x)=

3

sinx+cos(x+C)x∈[0，

π

2

]的最大值，并求取得最大值時(shí)x的大�。�

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化簡已知的等式，得到sinC=

3

cosC，即為tanC=

3

，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角
函數(shù)值即可求出C的度數(shù)．
（II）利用兩角和差的正弦、余弦公式化簡函數(shù)的解析式為f（x）=sin（

π

6

+x），再根據(jù)x的范圍求得

π

6

+x的范圍，
從而求得函數(shù)的最大值．

解答：解：（I）∵在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足csinA=

3

acosC，而且

a

sinA

=

c

sinC

，
∴c•sinA=

3

a•cosC 變形為：sinCsinA=

3

sinAcosC，
又A為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，
∴sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，故C=

π

3

．
（II）∵f(x)=

3

sinx+cos(x+C)=

3

sinx+

1

2

cosx-

3

2

sinx=sin（

π

6

+x），x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

+x∈[

π

6

，

2π

3

]，故當(dāng)

π

6

+x=

π

2

，即 x=

π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為1．

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，兩角和差的正弦、余弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．