Question

在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：（a＞0），過點P（－2，－4）的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），l與C分別交于M，N.

（1）寫出C的平面直角坐標系方程和l的普通方程；

（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值.

Answer 1

y2＝2ax（a＞0），x－y－2＝0．a(chǎn)＝1．

【解析】

試題分析：（1）曲線C的直角坐標方程為y2＝2ax（a＞0）；

直線l的普通方程為x－y－2＝0． 4分

（2）將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標方程聯(lián)立，得

t2－2（4＋a） t＋8（4＋a）＝0 （*）

△＝8a（4＋a）＞0．

設(shè)點M，N分別對應(yīng)參數(shù)t1，t2，恰為上述方程的根．

則|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由題設(shè)得（t1－t2）2＝|t1t2|，即（t1＋t2）2－4t1t2＝|t1t2|．

由（*）得t1＋t2＝2（4＋a） ，t1t2＝8（4＋a）＞0，則有

（4＋a）2－5（4＋a）＝0，得a＝1，或a＝－4．

因為a＞0，所以a＝1． 10分

考點：本題考查極坐標和參數(shù)方程

點評：（1）利用極坐標與普通方程的關(guān)系式，可得C為拋物線方程，消去參數(shù)t，可得直線l的方程；（2）由|PM|＝|t1|，|MN|＝|t1－t2|，|PN|＝|t2|成等比數(shù)列，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的等量關(guān)系求解.