Question

已知P為雙曲線C：

x2

9

-

y2

16

=1上的點(diǎn)，點(diǎn)M滿足|

OM

|=1，且

OM

•

PM

=0，則當(dāng)|

PM

|取得最小值時(shí)的點(diǎn)P到雙曲線C的漸近線的距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（3，0），利用點(diǎn)到直線間的距離公式即可求得點(diǎn)P到雙曲線C的漸近線的距離．

解答： 解：∵|

OM

|=1，∴點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的單位圓；
不妨設(shè)P為雙曲線右支上的任一點(diǎn)，∵

OM

•

PM

=0，∴OM⊥PM，
∴△OPM為直角三角形，且∠OMP=90°，|OP|為該直角三角形的斜邊長；
∵P為雙曲線C：

x2

9

-

y2

16

=1上的點(diǎn)，
在Rt三角形OPM中，要使直角邊|

PM

|最小，由于|

OM

|=1，故只需|OP|最小，
∵當(dāng)點(diǎn)P為雙曲線C的右支與x軸的交點(diǎn)時(shí)，|OP|最小，此時(shí)P（3，0）．
∵雙曲線C：

x2

9

-

y2

16

=1的一條漸近線方程為y=

4

3

x，
∴點(diǎn)P到漸近線4x-3y=0的距離d=

|4×3-3×0|

16+9

=

12

5

．
故答案為：

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化思想與邏輯思維能力，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）是關(guān)鍵．