【題目】已知點(diǎn)、
為雙曲線
的左、右焦點(diǎn),過
作垂直于
軸的直線,在
軸上方交雙曲線
于點(diǎn)
,且
,圓
的方程是
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點(diǎn)
作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為
、
,求
的值;
(3)過圓上任意一點(diǎn)
作圓
的切線
交雙曲線
于
、
兩點(diǎn),
中點(diǎn)為
,求證:
【答案】(1);(2)
;(3)詳見解析.
【解析】
(1),根據(jù)
可得
,利用雙曲線的定義可得
從而得到雙曲線的方程.
(2)設(shè)點(diǎn),利用漸近線的斜率可以得到
夾角的余弦為
,利用點(diǎn)在雙曲線上又可得
為定值
,故可得
的值.
(3)設(shè),切線
的方程為:
,證明
等價(jià)于證明
,也就是證明
,聯(lián)立切線方程和雙曲線方程,消元后利用韋達(dá)定理可以證明
.
(1)設(shè)的坐標(biāo)分別為
,
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線
上,所以
,即
,所以
,
在中,
,
,所以
,
由雙曲線的定義可知: ,
故雙曲線的方程為:
.
(2)由條件可知:兩條漸近線分別為;
.
設(shè)雙曲線上的點(diǎn)
,
設(shè)的傾斜角為
,則
,又
,所以
,
故,
所以的夾角為
,且
.
點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為
,
.
因?yàn)?/span>在雙曲線
上,所以
,
所以.
(3)由題意,即證: ,設(shè)
,
切線的方程為:
.
時(shí),切線
的方程代入雙曲線
中,化簡得:
(,
所以,
.
又,
所以.
時(shí),易知上述結(jié)論也成立.所以
.
綜上, ,所以
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,正方形
所在平面與正
所在平面垂直,
分別為
的中點(diǎn),
在棱
上.
(1)證明:平面
.
(2)已知,點(diǎn)
到
的距離為
,求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
)的導(dǎo)函數(shù)為
.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求
的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)存在極值,試比較
,
,
的大小,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD⊥平面PAB.
(1)求證:AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,實(shí)軸長為4,漸近線方程為.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(1)中雙曲線上一點(diǎn)P的直線分別交兩條漸近于兩點(diǎn),且P是線段AB的中點(diǎn),求證:
為常數(shù);
(3)我們知道函數(shù)的圖象是由雙曲線
的圖象逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的,函數(shù)
的圖象也是雙曲線,請嘗試寫出曲線
的性質(zhì)(不必證明).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查,為此將他們隨機(jī)編號1,, ,1000,適當(dāng)分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號碼為8,抽到的50人中,編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間
的人做問卷B,其余的人做問卷C,則抽到的人中,做問卷C的人數(shù)為( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在股票市場上,投資者常根據(jù)股價(jià)每股的價(jià)格
走勢圖來操作,股民老張?jiān)谘芯磕持还善睍r(shí),發(fā)現(xiàn)其在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的走勢圖有如下特點(diǎn):每日股價(jià)
元
與時(shí)間
天
的關(guān)系在ABC段可近似地用函數(shù)
的圖象從最高點(diǎn)A到最低點(diǎn)C的一段來描述
如圖
,并且從C點(diǎn)到今天的D點(diǎn)在底部橫盤整理,今天也出現(xiàn)了明顯的底部結(jié)束信號.老張預(yù)測這只股票未來一段時(shí)間的走勢圖會如圖中虛線DEF段所示,且DEF段與ABC段關(guān)于直線l:
對稱,點(diǎn)B,D的坐標(biāo)分別是
.
請你幫老張確定a,
,
的值,并寫出ABC段的函數(shù)解析式;
如果老張預(yù)測準(zhǔn)確,且今天買入該只股票,那么買入多少天后股價(jià)至少是買入價(jià)的兩倍?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小組有7個(gè)同學(xué),其中4個(gè)同學(xué)從來沒有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動,3個(gè)同學(xué)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動.
(1)現(xiàn)從該小組中隨機(jī)選2個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動,求恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率;
(2)若從該小組隨機(jī)選2個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動,則活動結(jié)束后,該小組有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面幾種推理是類比推理的( )
A. 兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),如果和
是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則
B. 由平面三角形的性質(zhì),推測空間四邊形的性質(zhì)
C. 某校高二級有20個(gè)班,1班有51位團(tuán)員,2班有53位團(tuán)員,3班有52位團(tuán)員,由此可以推測各班都超過50位團(tuán)員.
D. 一切偶數(shù)都能被2整除,是偶數(shù),所以
能被2整除.
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