Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
（I）當(dāng)m=2時(shí)，求f（x）的解析式；
（II）設(shè)曲線y=f（x）在x=x₀處的切線斜率為k，且對(duì)于任意的x₀∈[-1，1]-1≤k≤9，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（I）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
當(dāng)x＜0時(shí)，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x³+mx²-（1-m）x）=2x³-mx²+（1-m）x∴f(x)=

2x3+mx2+(1-m)x(x≥0) 2x3-mx2+(1-m)x(x＜0)

．
當(dāng)m=2時(shí)，∴f(x)=

2x3+2x2-x，(x≥0) 2x3-2x2-x(x＜0)

（Ⅱ）由（I）得：∴f′(x)=

6x2+2mx+(1-m)，(x≥0) 6x2-2mx+(1-m)，(x＜0)

曲線y=f（x）在x=x₀處的切線斜率，對(duì)任意的x₀∈[-1，1]，總能不小于-1且不大于9，
則在任意x₀∈[-1，1]時(shí)，-1≤f'（x）≤9恒成立，
∵f'（x）是偶函數(shù)
∴對(duì)任意x₀∈（0，1]時(shí)，-1≤f'（x₀）≤9恒成立
1⁰當(dāng)-

m

6

≤0時(shí)，由題意得

f′(0)≥-1 f′(1)≤9

∴0≤m≤2
2⁰當(dāng)0＜-

m

6

≤1時(shí)
∴

f′(- m 6 ) ≥-1 f′(0)≤9 f′(0)≤9

∴-6≤m＜0
3⁰當(dāng)-

m

6

＞1時(shí)∴

f′(0)≤9 f′(1)≥-1

∴-8≤m＜-6
綜上：-8≤m≤2
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|-8≤m≤2}．