已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax（）．

（1）若函數(shù)y=f(sinx+cosx)()的最大值為，求f(x)的最小值；

（2）當a>2時,求證：f(sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x)1–a.其中x∈R,x¹kp且x¹kp(k∈Z).

 

【答案】

（1）；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求的值域，再討論a的范圍，根據(jù)最大值，求最小值；（2）利用導數(shù)先求sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x的值域，再根據(jù)二次函數(shù)求結(jié)論.

試題解析：(1)令，，        2分

，當a<0時，t=–2時，，

解得：

此時，．            2分

當時，t=2時，，解得：

此時，

綜合上述，條件滿足時，的最小值為              2分

(2)x∈R，且

又，故設(shè)，則有

設(shè)(其中t∈(0，1))           2分

             2分

令，得

當時，，所以在(0，)單調(diào)遞減，

當時，，所以在(，1)單調(diào)遞增，

時取最小值等于

即有          3分

當a>2時，的對稱軸，

上單調(diào)遞增，

          2分

考點：1、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；2、二次函數(shù)；3、導數(shù)與二次函數(shù)、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
5
2
-x有等根
（1）求f（x）的表達式；
（2）若f（x）在定義域（-1，t]上的值域為（-1，1]，求t的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)m、n（m＜n），使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，函數(shù)y=f(x)+
2
3
x-1的圖象過原點且關(guān)于y軸對稱，記函數(shù) h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當a=
1
10
時，求函數(shù)y=h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不相等的實根，當a＞0時判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若方程g（x）=x的兩實根為x1，x2f（x）=0的兩根為x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=
-x2-x+2
的定義域為A，若對任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，則實數(shù)k的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不相等的實根，當a＞0時判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）當b=2a時，問是否存在x的值，使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實數(shù)a，不等式f（x）＜4恒成立？并說明理由．

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