Question

已知離心率為的橢圓C：過點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求橢圓方程
（2）已知直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若直線l是圓O：的一條切線，求證：．

Answer 1

解：（1）由題意可得 =，∴a²=2b²，故橢圓的方程為 ，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得b²=4，a²=8，故橢圓方程為 ．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為 x=，代入橢圓的方程可得A（，- ），
B（， ），顯然AOB為等腰直角三角形，．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y=kx+b，由切線的性質(zhì)可得 =，3b²=8+8k² ①，
把直線l的方程代入橢圓的方程化簡可得 （1+2k²）x²+4kbx+2b²-8=0．
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，故OA 和OB的斜率之積等于
==，又由①得 8k²=3b²-8，
故OA 和OB的斜率之積等于 =-1，∴OA⊥OB，∴．
分析：（1）由離心率可得a²=2b²，故橢圓的方程為 ，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得b²的值，從而得到橢圓方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)可得三角形AOB為等腰直角三角形，．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，由切線的性質(zhì)可得3b²=8+8k² ①，把直線l的方程代入橢圓的方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算OA和OB的斜率之積等于-1，從而得到．
點(diǎn)評：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，
證明OA 和OB的斜率之積等于-1，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．