Question

如圖，在四棱錐中，平面平面，且， ．四邊形滿足，，．點(diǎn)分別為側(cè)棱上的點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得平面平面？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

證明：（Ⅰ）由已知，，

所以 ．

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515493966168858.files/image113.gif'>，所以．

而平面，平面，

所以平面．         

（Ⅱ）因?yàn)槠矫?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515493966168858.files/image194.gif'>平面，

平面平面，且，

所以平面.

所以，．

又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515493966168858.files/image114.gif'>，

所以兩兩垂直．      …

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515493966168858.files/image115.gif'>，，

所以

．

當(dāng)時(shí)，為中點(diǎn)，

所以,

所以．

設(shè)異面直線與所成的角為，

所以，

所以異面直線與所成角的余弦值為．

（Ⅲ）設(shè)，則．

     由已知，所以，

    所以    所以．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515493966168858.files/image220.gif'>,

所以    即

     令，得．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515493966168858.files/image226.gif'>,

所以    即

    令，則．

若平面平面，則，所以，解得．

所以當(dāng)時(shí)，平面平面．…