Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+

1

2

，a∈R．
（1）當a=-

1

3

時，求f（x）的最大值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）如果對任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：壓軸題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=-

1

3

時，求f（x））=

2

3

lnx-

1

3

x²+

1

2

，先確定函數(shù)的定義域，然后求導研究單調(diào)性求最大值；
（2）求導數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)第一問的單調(diào)性先對|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|進行化簡整理，轉(zhuǎn)化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）單調(diào)性問題，然后再轉(zhuǎn)化成導函數(shù)在（0，+∞）上恒大于等0或恒小于等于的恒成立問題．

解答： 解：（1）當a=-

1

3

時，求f（x））=

2

3

lnx-

1

3

x²+

1

2

，定義域為（0，+∞）
f′（x）=

2

3

x-

2

3

x=

2-2x2

3x

=-

2(x+1)(x-1)

3x

，…2分
所以f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞），…3分
所以f（x）_max=f（1）=

1

6

…4分
（2）對函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+

1

2

，定義域為（0，+∞）
求導得：f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，…5分
對參數(shù)a進行討論：
當a≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…6分
當a≤-1時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；…7分
當-1＜a＜0時，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

，
則當x∈（0，

- a+1 2a

），f′（x）＞0；當x∈（

- a+1 2a

，+∞），f′（x）＜0；
故f（x）在∈（0，

- a+1 2a

）上單調(diào)遞增；在（

- a+1 2a

，+∞）單調(diào)遞減；…8分
（3）不妨設0＜x₁＜x₂，
①當a≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即f（x₂）-4x₂≥f（x₁）-4x₁ 恒成立；
構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-4x，需證g（x）=f（x）-4x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
即證g′（x）=f′（x）-4=

a+1

x

+2ax-4≥0，即2ax²-4x+a+1≥0（x＞0）恒成立．
當a=0時，則由-4x+1＞0得x＞

1

4

，不合題意，即a≠0，則a＞0；
根據(jù)二次函數(shù)y=2ax²-4x+a+1（x＞0）開口方向向上，對稱軸x=

1

a

＞0
所以只需△≤0可得16-8a（a+1）≤0，解得a≥1（a≤-2舍去）；…10分
②當a≤-1時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；去絕對值整理得，
f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁ 恒成立；構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+4x，需證g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
 即g′（x）=f′（x）+4=

a+1

x

+2ax+4≤0，即2ax²+4x+a+1≥0（x＞0）恒成立．
根據(jù)二次函數(shù)y=2ax²+4x+a+1（x＞0）開口方向向下，對稱軸x=

1

a

＞0，
所以只需△≤0可得16-8a（a+1）≤0，解得a≤-2，（a≥1舍去）；…12分
③當-1＜a＜0時，f（x）在∈（0，

- a+1 2a

）上單調(diào)遞增；在（

- a+1 2a

，+∞）單調(diào)遞減；此時
|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等價于f（x₂）-4x₂≥f（x₁）-4x₁ 恒成立或者f（x₂）+4x₂≤f（x₁）+4x₁
恒成立，由前面過程可知：a≥1或a≤-2，這與-1＜a＜0不符，故此種情況無解；
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-2]∪[1，+∞）…14分

點評：本題綜合性較強，利用導數(shù)求函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，關鍵是要把握好分類的標準，知道如何分類；第（3）問思維量較大，關鍵是通過分析式子的特點，通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)的單調(diào)性．本題考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和構(gòu)造函數(shù)等重要的數(shù)學思想．