Question

函數(shù)f（x）=alnx+1（a＞0）．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f（x）-1≥a（1-

1

x

）；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使得在區(qū)間[1，2）上f（x）≥x恒成立？若存在，求出a的取值條件；
（3）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求證：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n+1）＞2（n+

3

2

-

n+1

）（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題,不等式的證明

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）構(gòu)造φ(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)，(x＞0)，求其導(dǎo)數(shù)，令其為0，得到唯一的極值即為最小值，φ（x）≥φ（1）=0，得證；
（2）要使f（x）≥x恒成立，只要a≥

x-1

lnx

，令g(x)=

x-1

lnx

，(x＞1)，求得g′(x)=

lnx- x-1 x

(lnx)2

，判斷g′（x）的符號(hào)，求g（x）的最大值，a≥g（x）的最大值；
（3）由（2）得知lnx≥1-

1

x

，則ln

n

≥1-

1

n

，將不等式的左邊轉(zhuǎn)化為

解答： 解：（1）證明：設(shè)φ(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)，(x＞0)
則φ′(x)=

a

x

-

a

x2

=0，
又因?yàn)閍＞0，
則x=1，即φ（x）在x=1處取到最小值，
則φ（x）≥φ（1）=0，即原結(jié)論成立．
（2）由f（x）≥x得alnx+1≥x，即alnx≥x-1，
當(dāng)x=1時(shí)，a∈R，由題意a＞0；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，a≥

x-1

lnx

，令g(x)=

x-1

lnx

，(x＞1)，g′(x)=

lnx- x-1 x

(lnx)2

，
令h(x)=lnx-

x-1

x

，h′(x)=

1

x

-

1

x2

＞0，
則h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）單調(diào)遞增，而g(2)=

1

ln2

，此時(shí)a≥

1

ln2

．
∴a的取值范圍為[

1

ln2

，+∞)．
（3）證明：由（2）得知lnx≥1-

1

x

，則ln

n

≥1-

1

n

，
則f(2)+f(3)+…+f(n+1)=

1

2

(ln2+ln3+…+ln(n+1))+n+1=ln

2

+ln

3

+…+ln(n+1)+n+1≥1-

1

2

+1-

1

3

+…+1-

1

n+1

+n+1=2(n+1)-2(

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n+1)

）＞2（n+1）-(

1

2 +1

+

1

2 + 3

+…+

1

n + n+1

)=2（n+1-

n+1

）

=2n-2( 1 2 2 + 1 2 3 +…+ 1 2 n+1 )＞2n-2( 1 1+ 2 + 1 2 + 3 +…+ 1 n + n+1 ) =2(n+1- n+1 )

∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n+1)＞2(n+

3

2

-

n+1

）（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．