Question

在△ABC中內(nèi)角A所對(duì)邊的長(zhǎng)為定值a，函數(shù)f（x）=cos（x+A）+cosx的最大值為

6 + 2

2

．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積的最大值為2+

3

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,三角形的面積公式

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）運(yùn)用兩角和的余弦公式，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，求得最大值，進(jìn)而得到A；
（Ⅱ）運(yùn)用余弦定理和均值不等式，求出bc的最大值，再由條件運(yùn)用面積公式，解方程，即可得到a．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=cos（x+A）+cosx
=cosxcosA-sinxsinA+cosx=cosx（1+cosA）-sinxsinA
=

(1+cosA)2+sin2A

cos（x+θ）（θ為輔助角），
則f（x）最大值為

(1+cosA)2+sin2A

=

2+2cosA

，
由于A為三角形的內(nèi)角，則為2cos

A

2

=

6 + 2

2

，
則

A

2

=15°，則A=30°；
（Ⅱ）由于a²=b²+c²-2bccos30°≥2bc-

3

bc，
即有bc≤

a2

2- 3

，
則

1

2

bcsin30°=

1

4

bc≤

1

4

(2+

3

)a2，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c取得最大值．
則由△ABC的面積的最大值為2+

3

，
則有

1

4

(2+

3

)a2=2+

3

，解得a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值的求法，考查余弦定理和面積公式的運(yùn)用，均值不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．