Question

5．已知函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，（x≤0）}\\{\sqrt{4-{x^2}}（x＞0）}\end{array}}$，則$\int_{-1}^2{f（x）dx}$=$π+\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 $\int_{-1}^2{f（x）dx}$=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx，根據定積分的計算和定積分的幾何意義，計算即可．

解答 解：$\int_{-1}^2{f（x）dx}$=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx，
因為${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示以原點為圓心，以2為半徑的圓的面積的四分之一，所以${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$×2²π=π，
${∫}_{-1}^{0}$x²dx=$\frac{1}{3}{x}^{3}$|${\;}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{3}$，
所以$\int_{-1}^2{f（x）dx}$=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx=π+$\frac{1}{3}$
故答案為：$π+\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了定積分的計算和定積分的幾何意義，屬于基礎題．