Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（x-2）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）畫出函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象寫出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（x-2）
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（-x）=-x（-x-2）=x（x+2）
又∵f（x）是定義在R上奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-x（x+2）
因此，函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=；
（2）∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（x-2），
函數(shù)圖象是開口向上的拋物線y=x²-2x位于y軸右側(cè)部分；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x（x+2），
函數(shù)圖象是開口向下的拋物線y=-x²-2x位于y軸左側(cè)部分
∴作出函數(shù)的圖象，如圖所示
由圖象可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1）
分析：（1）根據(jù)x≥0時(shí)f（x）的表達(dá)式，得到當(dāng)x＜0時(shí)，f（-x）=x（x+2）．再由函數(shù)為奇函數(shù)得：當(dāng)x＜0時(shí)，
f（x）=-f（-x）=-x（x+2），因此可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象作法，將拋物線y=x²-2x位于y軸右側(cè)部分與拋物線y=-x²-2x位于y軸左側(cè)部分進(jìn)行拼接，可得函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，利用拋物線的對(duì)稱軸方程并對(duì)圖象加以觀察，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題給出奇函數(shù)在x≥0時(shí)的表達(dá)式，求x＜0時(shí)的表達(dá)式，并作函數(shù)的圖象、求單調(diào)增區(qū)間．著重考查了函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)區(qū)間求法等知識(shí)，屬于中檔題．