Question

關(guān)于x²+y⁴=1所表示曲線的描述：
（1）該曲線是中心對稱圖形；
（2）該曲線是軸對稱圖形；
（3）點p（cosθ，sinθ）可能在該曲線外部；
（4）該曲線圍成的圖形的面積小于或等于π；
（5）該曲線圍成的圖形的面積一定大于π，
以上說法正確的是：

 

（只需填上正確命題的題號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由函數(shù)中心對稱和軸對稱的判定方法判斷（1），（2）；由-1≤sinθ≤1同時把點的坐標(biāo)代入判斷（3）；求出曲線所圍成的曲線的面積范圍判斷（4）．

解答： 解：對于曲線x²+y⁴=1：
（1）以-x換x，以-y換y，曲線方程不變，該曲線是中心對稱圖形，（1）正確；
（2）以-x換x，曲線方程不變，該曲線是軸對稱圖形，（2）正確；
（3）∵cos²θ+sin⁴θ≤cos²θ+sin²θ=1，點p（cosθ，sinθ）不可能在該曲線外部，（3）錯誤；
由已知曲線的方程可得：y⁴=1-x²≥0⇒x²≤1⇒-1≤x≤1，同理可推得-1≤y≤1，
即曲線圍在由直線x=±1，y=±1所確定的正方形內(nèi)，故曲線是封閉的．
又對比圓的方程x²+y²=1可知圓上的任一點（x，y）應(yīng)在相應(yīng)的方程x²+y⁴=1表示的曲線內(nèi)部（除去與坐標(biāo)軸的交點），
故其面積應(yīng)大于圓的面積π，
故（4）錯誤；（5）正確．
故答案為：（1）（2）（5）．

點評：本題考查曲線方程知識，由方程研究曲線的性質(zhì)，是中檔題．