Question

已知函數(shù)f（x）=a+

1

2x-1

是奇函數(shù)，
（Ⅰ）求實數(shù)a的值，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（Ⅰ）利用函數(shù)奇偶性定義，得到關(guān)于x的恒等式，從而求出a的值，也可以先用特殊值法求出m的值，再加以論證，得到本題結(jié)論；（Ⅱ）利用指數(shù)函數(shù)的值域，可求出函數(shù)y=f（x）的值域，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=a+

1

2x-1

是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴a+

1

2-x-1

=-（a+

1

2x-1

），
∴2a=-

1

2x-1

+

2x

2x-1

∴a=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函數(shù)函數(shù)f（x）=

1

2

+

1

2x-1

．
∵2^x＞0，
∴2^x-1＞-1．
∴-1＜2^x-1＜0或2^x-1＞0，
∴

1

2x-1

＜-1或

1

2x-1

＞0，
∴

1

2

+

1

2x-1

＜-

1

2

或

1

2

+

1

2x-1

＞

1

2

．
∴函數(shù)y=f（x）的值域為：（-∞，-

1

2

）∪(

1

2

，+∞)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值域，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．