Question

已知函數(shù)f（x）滿足f( loga x)=

a

a2-1

(x-x-1)，其中a＞0，a≠1．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）時，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令log_ax=t，則x=a ^t得到f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），任取x₁＜x₂，計算f（x₁）-f（x₂），然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，建立不等關(guān)系，化簡即可得到f（x₁）與f（x₂）大小關(guān)系，從而得到函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)定義域先建立兩個不等關(guān)系式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性建立關(guān)系式，解之即可．

解答：解：（1）令log_ax=t，則x=a ^t
所以f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t），
∴f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），
任取x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[（a^x₁-a^-x₁）-（a^x₂-a^-x₂）]
=

a

a2-1

[（a^x₁-a^x₂）-（a^-x₂-a^-x₁）]
=

a

a2-1

[（a^x₁-a^x₂）（1+a^-x₂-a^-x₁）]
當a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）為R上的增函數(shù)；
當0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）也為R上的增函數(shù)；
（2）定義域關(guān)于原點對稱，f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)．
因為函數(shù)f（x）的定義域是（-1，1）
所以有-1＜1-m＜1  ①
-1＜1-m²＜1       ②
又f（x）是奇函數(shù)，所以f（1-m）+f（1-m²）＞0可變?yōu)閒（1-m）＞f（m²-1）
又f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，所以1-m＜m²-1   ③
由①、②、③得 1＜m＜

2

．

點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，以及不等式的求解，屬于中檔題．