Question

（2012•上海）定義向量

OM

=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為

OM

=（a，b）（其中O為坐標原點）．記平面內所有向量的“相伴函數(shù)”構成的集合為S．
（1）設g（x）=3sin（x+

π

2

）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）²+y²=1上一點，向量

OM

的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x₀處取得最大值．當點M在圓C上運動時，求tan2x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用誘導公式對其化簡，再結合定義即可得到證明；
（2）先根據(jù)定義求出其相伴向量，再代入模長計算公式即可；
（3）先根據(jù)定義得到函數(shù)f（x）取得最大值時對應的自變量x₀；再結合幾何意義求出

b

a

的范圍，最后利用二倍角的正切公式即可得到結論．

解答：解：（1）g（x）=3sin（x+

π

2

）+4sinx=4sinx+3cosx，
其‘相伴向量’

OM

=（4，3），g（x）∈S．
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx
=（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx
=-sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函數(shù)h（x）的‘相伴向量’

OM

=（-sinα，cosα+2）．
則|

OM

|=

(-sinα) 2+(cosα+2) 2

=

5+4cosα

．
（3）

OM

的‘相伴函數(shù)’f（x）=asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ），
其中cosφ=

a

a2+b2

，sinφ=

b

a2+b2

．
當x+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z時，f（x）取到最大值，故x₀=2kπ+

π

2

-φ，k∈Z．
∴tanx₀=tan（2kπ+

π

2

-φ）=cotφ=

a

b

，
tan2x₀=

2tanx0

1-tan 2x0

=

2× a b

1-( a b )2

=

2

b a - a b

．

b

a

為直線OM的斜率，由幾何意義知：

b

a

∈[-

3

3

，0）∪（0，

3

3

]．
令m=

b

a

，則tan2x₀=

2

m- 1 m

，m∈[-

3

3

，0）∪（0，

3

3

}．
當-

3

3

≤m＜0時，函數(shù)tan2x₀=

2

m- 1 m

單調遞減，∴0＜tan2x₀≤

3

；
當0＜m≤

3

3

時，函數(shù)tan2x₀=

2

m- 1 m

單調遞減，∴-

3

≤tan2x₀＜0．
綜上所述，tan2x₀∈[-

3

，0）∪（0，

3

]．

點評：本體主要在新定義下考查平面向量的基本運算性質以及三角函數(shù)的有關知識．是對基礎知識的綜合考查，需要有比較扎實的基本功．