Question

已知函數(shù)f(x)＝在x＝0，x＝處存在極值。

（1）求實數(shù)a, b的值；

（2）函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點A, B使得△AOB是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，求實數(shù)c的取值范圍；

（3）當c＝e時，討論關(guān)于x的方程f(x)＝kx (k∈R)的實根個數(shù)。

Answer 1

（1）當x＜1時，f ' (x)＝－3x²＋2ax＋b.

因為函數(shù)f(x)在x＝0, x＝處存在極值，所以

解得a＝1, b＝0.                                           …………(3分)

（2）由（1）得

根據(jù)條件知A, B的橫坐標互為相反數(shù)，不妨設(shè)A(－t, t³＋t²), B(t, f(t)(t＞0). … (4分)

若t＜1，則f(t)＝－t³＋t²,

由∠AOB是直角得·＝0，即－t²＋( t³＋t²)(－t³＋t²)＝0，

即t⁴－t²＋1＝0.此時無解；                                 …………(5分)

若t≥1，則f(t)＝c(e^t―1―1).由于AB的中點在y軸上，且∠AOB是直角，

所以B點不可能在x軸上，即t≠1.

同理·＝0，  即－t²＋( t³＋t²)·c(e^t―1―1)＝0，

整理后得  .                             …………(7分)

因為函數(shù)y＝(t＋1)(e^t-1―1)在t＞1上的值域是(0, ＋∞),

所以實數(shù)c的取值范圍是(0, ＋∞).                      …………(8分)

（3）由方程f(x)＝kx,

知

因為0一定是方程的根，                              …………(9分)

所以僅就x≠0時進行研究：

方程等價于

構(gòu)造函數(shù)                    …………(10分)

對于x＜1且x≠0部分，函數(shù)g(x)＝－x²＋x的圖象是開口向下的拋物線的一部分，當x＝時取得最大值，其值域是(－∞, 0)∪(0, ]；     …………(11分)

對于x≥1部分，函數(shù)，由，

知函數(shù)g(x)在(1, ＋∞)上單調(diào)遞增,則g(x)［0，+)      …………(13分)

所以, ①當k＞或k＜0時，方程f(x)＝kx有一個實根；

②當k＝或k＝0時，方程f(x)＝kx有兩個實根；

③當0＜k＜時，方程f(x)＝kx有三個實根。         …………(14分)