Question

20．記$min\{x，y\}=\left\{\begin{array}{l}y{，_{\;}}x≥y\\ x{，_{\;}}x＜y\end{array}\right.$，設(shè)a，b為平面內(nèi)的非零向量，則（　　）

• A． $min\{|\overrightarrow a+\overrightarrow b|，|\overrightarrow a-\overrightarrow b|\}≤min\{|\overrightarrow a|，|\overrightarrow b|\}$
• B． $min\{|\overrightarrow a+\overrightarrow b{|^2}，|\overrightarrow a-\overrightarrow b{|^2}\}≥{\overrightarrow a^2}+{\overrightarrow b^2}$
• C． $min\{|\overrightarrow a+\overrightarrow b|，|\overrightarrow a-\overrightarrow b|\}≥min\{|\overrightarrow a|，|\overrightarrow b|\}$
• D． $min\{|\overrightarrow a+\overrightarrow b{|^2}，|\overrightarrow a-\overrightarrow b{|^2}\}≤{\overrightarrow a^2}+{\overrightarrow b^2}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法與減法的幾何意義以及模長(zhǎng)公式，結(jié)合題目中的最小值，對(duì)選項(xiàng)中的問題進(jìn)行分析判斷，對(duì)錯(cuò)誤選項(xiàng)進(jìn)行排除即可．

解答 解：對(duì)于A，當(dāng)$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$時(shí)，根據(jù)向量加法與減法的幾何意義知，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＞min{|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$|}成立，故原不等式不成立；
對(duì)于B，${|\overrightarrow{a}±\overrightarrow|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$±2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$，∴${|\overrightarrow{a}±\overrightarrow|}^{2}$-（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$）=±2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義知，±2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≥0不成立，故原不等式不成立；
對(duì)于C，當(dāng)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線時(shí)，根據(jù)向量加法與減法的幾何意義知，
min{|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|}＜min{|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$|}成立，故原不等式不成立；
對(duì)于D，${|\overrightarrow{a}±\overrightarrow|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$±2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$，∴${|\overrightarrow{a}±\overrightarrow|}^{2}$-（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$）=±2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義知，min{${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}^{2}$，${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}^{2}$}≤${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$成立．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量加法與減法的幾何意義的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)用排除法，對(duì)錯(cuò)誤選項(xiàng)進(jìn)行舉反例說(shuō)明即可．