Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{S_n+1}是公比為2的等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{S_n}中是否存在不同的三項(xiàng)S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k為等差數(shù)列？若存在，請求出滿足條件的一組m，n，k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）S₁=a₁=1，S₁+1=a₁+1=2．
因?yàn)閿?shù)列{S_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，所以．
故．…（3分）
當(dāng)n≥2時(shí)，，
當(dāng)n=1時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，也成立，
故．…（6分）
（Ⅱ）數(shù)列{S_n}中不存在不同的三項(xiàng)S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k為等差數(shù)列．…（7分）
理由如下：假設(shè){S_n}中存在等差數(shù)列S_m，S_n，S_k，不失一般性，不妨設(shè)S_m＜S_n＜S_k，即m＜n＜k，
則2S_n=S_m+S_k，…（9分）
由（I），．
故2•2ⁿ-2=2^m-1+2^k-1，即2ⁿ⁺¹=2^m+2^k，即2^n+1-m=1+2^k-m，
由m＜n＜k知，上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能相等．…（11分）
故假設(shè)錯(cuò)誤，從而數(shù)列{S_n}中不存在不同的三項(xiàng)S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k為等差數(shù)列．…（12分）
分析：（I）根據(jù)數(shù)列{S_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，可得，再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{S_n}中不存在不同的三項(xiàng)S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k為等差數(shù)列，利用反證法進(jìn)行證明，可得2^n+1-m=1+2^k-m，由m＜n＜k知，上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能相等，故可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、反證法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合的思想．