已知函數(shù)f(x)=Asinx+sin(
π
2
-x)，(x∈R)．且f(
π
4
)=
2
，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值與取得最大值時x的集合；
（3）若f(α)=
1
4
，α∈(0，
π
2
)，求sin2α的值．
分析：（1）利用誘導(dǎo)公式及f(
π
4
)=
2
，求出函數(shù)解析式，從而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的最大值與取得最大值時x的集合；
（3）由條件可得sinα+cosα=
1
4
，兩邊平方可得sin2α的值．
解答：解：（1）f(x)=Asinx+sin(
π
2
-x)=Asinx+cosx
∵f(
π
4
)=
2
，∴
2
2
A+
2
2
=
2
，∴A=1
∴f（x）=sinx+cosx=
2
sin（x+
π
4
）
令x+
π
4
∈[2kπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
]（k∈Z），可得x∈[2kπ+
π
4
，2kπ+
5π
4
]（k∈Z）
即函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+
π
4
，2kπ+
5π
4
]（k∈Z）；
（2）令x+
π
4
=2kπ+
π
2
，可得x=2kπ+
π
4
（k∈Z），此時求函數(shù)f（x）取到最大值
2
；
（3）∵f(α)=
1
4
，α∈(0，
π
2
)，
∴sinα+cosα=
1
4

兩邊平方可得1+sin2α=
1
16

∴sin2α=-
15
16
．
點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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