Question

如圖，設(shè)A為y軸上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，△AF₁F₂為正三角形且AF₁中點(diǎn)B恰好在橢圓上，求此橢圓的離心率．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件，推導(dǎo)出|BF₁|=c，|BF₂|=

3

c，由橢圓定義知：|BF₁|+|BF₂|=2a，由此有求出結(jié)果．

解答： 解：∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，
△AF₁F₂為正三角形且AF₁中點(diǎn)B恰好在橢圓上，
∴|BF₁|=

1

2

|F₁F₂|=c，且∠F1BF2 =90°，
∴|BF₂|=

(2c)2-c2

=

3

c，
由橢圓定義知：|BF₁|+|BF₂|=2a，
即c+

3

c=2a，
∴c=

2

3 +1

a=（

3

-1）a，
∴e=

c

a

=

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用．