Question

在△ABC中．
（1）已知sinA=cosBcosC，求證：tanC+tanB=1；
（2）求證：a²-2ab cos（60°+C）=b²-2bc cos（60°+A）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A=B+C把sinA轉換成sin（A+B），進而利用兩角和公式化簡整理，等式兩邊同時除以cosBcosC，即可證明原式．
（2）先利用兩角和公式對要證的結論化簡整理可得a²-abcosC+absinC=c²-bccosA+bcsinA 再利用余弦定理分別把cosC，cosA代入整理asinC=csinA，根據正弦定理可知在三角形中此等式恒成立，進而使原式得證．
解答：解：（1）因為在三角形ABC中，sinA=cosBcosC
∴sin（B+C）=cosBcosC
即sinBcosC+cosBsinC=cosBcosC
等式兩邊同時除以cosBcosC，得
+=1
即tanB+tanC=1，原式得證．
（2）證明：要使a²-2ab cos（60°+C）=b²-2bc cos（60°+A）．
需a²-2ab（cosC-sinC）=c²-2bc（cosA-sinA）
需a²-abcosC+absinC=c²-bccosA+bcsinA
需a²-（a²+b²-c²）+absinC=c²-（b²+c²-a²）+bcsinA
需a²-b²+c²+2absinC=c²-b²+a²+2bcsinA
需asinC=csinA
在三角形ABC中，根據正弦定理可知即asinC=csinA恒成立，
所以等式得證
點評：本題主要考查了三角函數恒等式的證明，涉及了正弦定理，余弦定理，同角三角函數基本關系的應用等．考查了學生綜合分析問題和演繹推理的能力．