【題目】如圖，把長為6，寬為3的矩形折成正三棱柱，三棱柱的高度為3，矩形的對角線和三棱柱的側(cè)棱、的交點記為.

（1）在三棱柱中，若過三點做一平面，求截得的幾何體的表面積；

（2）求三棱柱中異面直線與所成角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由操作可知，該正三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，正三棱柱的高為3.所求幾何體的表面積為各面的面積之和，利用表面積公式求解即可；

（2）延長到H，使，連結(jié)，可以證明出，所以異面直線與所成的角即為（或其補角），利用余弦定理求值即可.

（1）由操作可知，該正三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，正三棱柱的高為3.所求幾何體的表面積為各面的面積之和.

又

又在三角形中，

∴

故

（2）延長到H，使，連結(jié)，所以有平行四邊形的性質(zhì)可知

，所以異面直線與所成的角即為（或其補角）

在中，，

由余弦定值得

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【題目】已知是圓：上任意一點，，線段的垂直平分線與半徑交于點，當點在圓上運動時，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）記曲線與軸交于兩點，是直線上任意一點，直線，與曲線的另一個交點分別為，求證：直線過定點.

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【題目】在平面直角坐標系中，函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，試做如下操作：把x軸上的區(qū)間等分成n個小區(qū)間，在每一個小區(qū)間上作一個小矩形，使矩形的右端點落在函數(shù)的圖像上.若用表示第k個矩形的面積，表示這n個叫矩形的面積總和.

（1）求的表達式；

（2）利用數(shù)學歸納法證明，并求出的表達式

（3）求的值，并說明的幾何意義.

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【題目】已知橢圓：，其中，點是橢圓的右頂點，射線：與橢圓的交點為.

（1）求點的坐標；

（2）設橢圓的長半軸、短半軸的長分別為、，當的值在區(qū)間中變化時，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，以為焦點，為頂點且開口方向向左的拋物線過點，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面，四棱錐的體積，M是的中點.

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求點B到平面的距離.

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【題目】某公司航拍宣傳畫報，為了凸顯公司文化，選擇如圖所示的邊長為2百米的正三角形空地進行布置拍攝場景，在的中點處安裝中央聚光燈，為邊上得可以自由滑動的動點，其中設置為普通色彩燈帶(燈帶長度可以自由伸縮)，線段部分需要材料 (單位:百米)裝飾用以增加拍攝效果因材料價格昂貴，所以公司要求采購材料使用不造成浪費.

（1）當，與垂直時，采購部需要采購多少百米材料？

（2）為了增加拍攝動態(tài)效果需要，現(xiàn)要求點在邊上滑動，且，則購買材料的范圍是多少才能滿足動態(tài)效果需要又不會造成浪費.

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【題目】設定義在上的函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）定義:如果實數(shù)滿足， 那么稱比更接近.對于（2）中的及，問:和哪個更接近？并說明理由.

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【題目】在平面直角坐標系中，對于點，若函數(shù)滿足：，都有，就稱這個函數(shù)是點的“限定函數(shù)”．以下函數(shù)：①，②，③，④，其中是原點的“限定函數(shù)”的序號是______．已知點在函數(shù)的圖象上，若函數(shù)是點的“限定函數(shù)”，則的取值范圍是______．

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【題目】已知點F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，若點P（x0，4）在拋物線C上，且.

（1）求拋物線C的方程；

（2）動直線l：x＝my+1（mR）與拋物線C相交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在定點D（t，0）（其中t≠0），使得kAD+kBD＝0，（kAD，kBD分別為直線AD，BD的斜率）若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

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