如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，F(xiàn)為BA延長線上一點，且滿足BD•BE=BA•BF．
求證：
（1）EF⊥FB；
（2）∠DFB+∠DBC=90°．

（1）證明：連接AD，則∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°
在△ADB和△EFB中，∵BD•BE=BA•BF，∴…．．（2分）
又∠DBA=∠EBF，∴△ADB∽△EFB…．．（4分）
則∠EFB=∠ADB=90°，∴EF⊥FB…．．（5分）
（2）在△ADB中，∠ADB=∠ADE=90°
又∠EFB=90°∴E、F、A、D四點共圓； …（7分）
∴∠DFB=∠AEB…．．（9分）
又AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，
∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°…（10分）
分析：（1）利用BD•BE=BA•BF，可得，從而可知△ADB∽△EFB，可得∠EFB=∠ADB，利用AB是⊙O的直徑，即可得到結(jié)論；
（2）先證明E、F、A、D四點共圓，從而可得∠DFB=∠AEB，利用AB是⊙O的直徑，可證結(jié)論成立．
點評：本題考查三角形的相似，考查四點共圓，掌握三角形相似的判定方法是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理科）如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，經(jīng)平面AEFG所截后得到的圖形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
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（Ⅰ）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

（文科）如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF．
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科目：高中數(shù)學 來源：南充高中2008－2009學年高二下學期第四次月考數(shù)學試題(理) 題型：044

如圖，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點．

(1)若一個n面體中有m個面是直角三角形，則稱這個n面體的直度為．那么四面體P－ABC的直度為多少？說明理由；

(2)在四面體P－ABC中，AP＝AB＝1，設．若動點M在四面體P－ABC表面上運動，并且總保持PB⊥AM．設為動點M的軌跡圍成的封閉圖形的面積關于角的函數(shù)，求取最大值時，二面角A－PB－C的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省南充高中2008－2009學年高二下學期第四次月考數(shù)學文 題型：044

如圖，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點．

(1)若一個n面體中有m個面是直角三角形，則稱這個n面體的直度為．那么四面體P－ABC的直度為多少？說明理由；

(2)如圖，若四面體P－ABC中，AP＝AB＝1，AE⊥PB，垂足為E，AF⊥PC，垂足為F．設∠EAF＝，為△AEF面積的函數(shù)，求取最大值時二面角A－PB－C的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，ABCD是正方形，E、F分別是AD、BC邊上的點，EF∥AB，EF交AC于點O，以EF為棱把它折成直二面角A-EF-D后，求證：不論EF怎樣移動，∠AOC是定值.

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省南充高中08-09學年高二下學期第四次月考（理） 題型：解答題

 如圖甲，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點．

（1）若一個面體中有個面是直角三角形，則稱這個面體的直度為．那么四面體的直度為多少？說明理由；

（2）在四面體中，，設．若動點在四面體 表面上運動，并且總保持．設為動點的軌跡圍成的封閉圖形的面積關于角的函數(shù)，求取最大值時,二面角的正切值．

 

 

 

 

 

 

 

 

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