Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）．（a＞0且a≠1．）
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）解不等式組

x+1＞0 1-x＞0

，即可；
（2）判斷f（x）是奇函數(shù)，運(yùn)用奇函數(shù)的定義，即可得到；
（3）由0＜a＜1時(shí)，f（x）在定義域{x|-1＜x＜1}內(nèi)是減函數(shù)，即可得到不等式組，解出即可．

解答： 解；（1）∵f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），
∴

x+1＞0 1-x＞0

，
解得-1＜x＜1，
故所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
理由：由（1）知f（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)；
（3）由f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，得log_a（x+1）＞log_a（1-x），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在定義域{x|-1＜x＜1}內(nèi)是減函數(shù)，
可得

-1＜x＜1 x+1＜1-x

，
解得-1＜x＜0，
∴使f（x）＞0的x的解集是{x|-1＜x＜0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性及應(yīng)用、奇偶性和運(yùn)用，解對(duì)數(shù)不等式，切記函數(shù)的定義域．