Question

已知f（x）=alnx-b（x-1）對任意的x＞0恒有f（x）≤0成立，
（1）求正數(shù)a與b的關系；
（2）若a=1，設g（x）=m

x

+n（m，n∈R），若lnx≤g（x）≤b（x-1）對任意x＞0恒成立，求函數(shù)g（x）的解析式；
（3）證明：n！＞e 2n-4

n

（n∈N，n≥2）

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)題意易判斷函數(shù)在x=1處取得最大值，則f′（1）=0，從而可得正數(shù)a與b的關系為a=b；
（2）根據(jù)a=1，將不等式lnx≤g（x）≤b（x-1）化為lnx＜m

x

+n＜x-1，根據(jù)不等式的性質將不等式轉化即可得到m=n=2，從而求出函數(shù)g（x）的解析式；
（3）根據(jù)（2）中結論lnx≤2（

x

-1）可得ln

1

k

≤

2

k

-2=

4

2 k

-2=4（

k

-

k-1

）-2，根據(jù)對數(shù)加法運算性質可得ln

1

n!

＜4[（

n

-

n-1

）+（

n-1

-

n-2

）+…+（

1

-

0

）]-2n=4

n

-2n．化簡即可得到不等式n！＞e 2n-4

n

．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx-b（x-1），
∴f（1）=0．
又∵對任意的x＞0恒有f（x）≤0成立，
∴函數(shù)在x=1處取得最大值．
∵f′(x)=

a

x

-b=

a-bx

x

．
∴f′（1）=0．
∴a=b．
又∵a＞0，
∴f（x）在x=1處取得極大值，符合題意．
∴正數(shù)a與b的關系為a=b．
（2）∵a=1，
∴b=1．
∴不等式lnx≤g（x）≤b（x-1）可化為
lnx≤m

x

≤x-1．
令x=1，則0≤m+n≤0．
∴m+n=0．
∴m

x

-m≤x-1．
∴x-m

x

+m-1≥0
即(

x

-

m

2

)2-

m2

4

+m-1≥0對?x＞0恒成立．
∴-

m2

4

+m-1=-(

m

2

-1)2≥0，
∴m=2．
∴函數(shù)g（x）=2（

x

-1）．
（3）由（2）知，
ln

1

k

≤

2

k

-2=

4

2 k

-2=4（

k

-

k-1

）-2．
∴l(xiāng)n

1

n!

＜4[（

n

-

n-1

）+（

n-1

-

n-2

）+…+（

1

-

0

）]-2n=4

n

-2n．
即lnn!＞2n-4

n

（n∈N，n≥2）．
∴n!＞e 2n-4

n

（n∈N，n≥2）．

點評：本題考查導數(shù)在函數(shù)極值，最值中的應用，不等式性質的靈活應用，屬于難題．