Question

已知直線y=-x+1與橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線l：x-2y=0上．
（1）求此橢圓的離心率；
（2）若橢圓的右焦點關(guān)于直線l的對稱點在圓x²+y²=4上，求此橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點P為橢圓C上一動點，已知點M₀（0，t），（其中t為常數(shù)）求線段PM₀長的最大值和最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1））將直線y=1-x代入橢圓方程整理得關(guān)于x的方程，運用韋達(dá)定理，求出中點坐標(biāo)，再由條件得到a²=2b²，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可求出離心率；
（2）設(shè)出對稱點的坐標(biāo)，由點關(guān)于直線的對稱得到方程組，求出對稱點，再代入圓的方程，即可得到c=2，再由離心率，得到a，從而得到b，求出橢圓方程；
（3）設(shè)P（2

2

cosα，2sinα），求出|PM₀|=

8+2t2-4(sinα+ t 2 )2

，由于sinα∈[-1，1]，討論1）-

t

2

∈[-1，1]，2）-

t

2

＞1，3）-

t

2

＜-1，線段PM₀長的最大值和最小值．

解答： 解：（1）將直線y=1-x代入橢圓方程得，b²x²+a²（1-x）²=a²b²，即（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，
即AB中點的橫坐標(biāo)是

a2

a2+b2

，縱坐標(biāo)是

b2

a2+b2

，
由于線段AB的中點在直線l：x-2y=0上，則a²=2b²，又b²=a²-c²，
則a²=2c²，e=

c

a

=

2

2

即橢圓的離心率為

2

2

；
（2）設(shè)右焦點（c，0）關(guān)于直線x-2y=0的對稱點為（m，n），則

n m-c =-2 m+c 2 =n

，解得

m= 3 5 c n= 4 5 c

，
由于橢圓的右焦點關(guān)于直線l的對稱點在圓x²+y²=4上，則

9c2

25

+

16c2

25

=4，c²=4，c=2．
由于e=

2

2

．則a=2

2

，b=2．
故橢圓方程為：

x2

8

+

y2

4

=1；
（3）設(shè)P（2

2

cosα，2sinα），
則|PM₀|=

(2 2 cosα)2+(2sinα-t)2

=

-4sin2α-4sinα•t+t2+8

=

8+2t2-4(sinα+ t 2 )2

∵sinα∈[-1，1]，
∴1）-

t

2

∈[-1，1]時，線段PM₀長的最大值為

8+2t2

，
sinα=-1時，|PM₀|=|t+2|，sinα=1時，|PM₀|=|t-2|，
①0≤t≤2時，線段PM₀長的最小值為|t-2|，
②-2≤t＜0時，線段PM₀長的最小值為|t+2|．
2）-

t

2

＞1時，[-1，1]為增區(qū)間，故線段PM₀長的最小值為|t+2|，最大值為|t-2|；
3）-

t

2

＜-1時，[-1，1]為減區(qū)間，故線段PM₀長的最小值為|t-2|，最大值為|t+2|．
綜上，當(dāng)-2≤t＜0時，線段PM₀長的最小值是|t+2|，最大值為

8+2t2

；
當(dāng)0≤t≤2時，線段PM₀長的最小值是|t-2|，最大值為

8+2t2

；
當(dāng)t＜-2時，線段PM₀長的最小值為|t+2|，最大值為|t-2|；
當(dāng)t＞2時，線段PM₀長的最小值為|t-2|，最大值為|t+2|．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率，考查直線和橢圓聯(lián)立，運用韋達(dá)定理求解中點問題，考查點關(guān)于直線的對稱問題，以及橢圓參數(shù)方程的運用求最值，注意討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，本題是一道綜合題．