Question

從雙曲線x²-y²=1上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N．求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)P（x，y），欲求其軌跡方程，即尋找其坐標(biāo)間的關(guān)系，根據(jù)垂線的關(guān)系及點(diǎn)Q在雙曲線上，代入其方程即可得到．
解答：解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₁，y₁）
則N（ 2x-x₁，2y-y₁）代入x+y=2，得2x-x₁+2y-y₁=2    ①
又PQ垂直于直線x+y=2，故，即x-y+y₁-x₁=0     ②
由①②解方程組得x₁=x+y-1，y₁=x+y-1，
代入雙曲線方程即可得P點(diǎn)的軌跡方程是2x²-2y²-2x+2y-1=0．
點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．代入法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q（x’，y’）的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x’，y’表示為x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法．