Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得=（x＞0）
令f′（x）＞0，則-1＜x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，則x＜-1或0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．
（Ⅱ）由題意得g'（x）=2x+-，
①若函數(shù)g（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，則2x+-≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥-2x² 在[1，+∞）上恒成立，
設(shè)Φ（x）=-2x²，∵Φ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴Φ（x）≤Φ（1）=0，∴a≥0
②若函數(shù)g（x）為[1，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，則 g'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．
∴實數(shù)a的取值范圍[0，+∞）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由題意得g'（x）=2x+-，分函數(shù)g（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)與單調(diào)減函數(shù)討論，即可確定實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，正確運用分離參數(shù)法是關(guān)鍵．