Question

已知函數(shù)，（其中）.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若存在，對(duì)任意的，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
（2）
（3））

試題分析：解：（1），，
，故.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.……3分
（2），則，由題意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函數(shù)開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞增，因此只需使，解得；
易知當(dāng)時(shí)，且不恒為0.
故.……7分
（3）當(dāng)時(shí)，，，故在上，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，.……9分
而“存在，對(duì)任意的，總有成立”等價(jià)于“在上的最大值不小于在上的最大值”.
而在上的最大值為中的最大者，記為.
所以有，，
.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.……13分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，屬于中檔題。