Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，0），短軸一頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線夾角為120°．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0），點(diǎn)Q（0，m）在線段AB的垂直平分線上且

.

QA

•

.

QB

≤4，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知a=2b，c=

3

，a²=b²+c²，由此能得到橢圓方程．
（2）由A（-2，0），設(shè)B（x₁，y₁），直線l的方程為y=k（x+2），知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

．然后再分類討論進(jìn)行求解．

解答：解：（1）由題意知a=2b，c=

3

，a²=b²+c²
解得a=2，b=1，∴橢圓方程為

x2

4

+y²=1．（4分）
（2）由（1）可知A（-2，0），設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），
直線l的方程為y=k（x+2）
于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

）（7分）
以下分兩種情況：
①當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，
于是

.

QA

=（-2，-m），

.

QB

=（2，-m），
由

.

QA

•

.

QB

≤4
得：-2

2

≤m≤2

2

．（9分）
②當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為
y-

2k

1+4k2

=-

1

k

（x+

8k2

1+4k2

）
令x=0，得m=-

6k

1+4k2

由

.

QA

•

.

QB

=-2x₁-m（y₁-m）

=

-2(2-8k2)

1+4k2

+

6k

1+4k2

（

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

）
=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

≤4
解得-

14

7

≤k≤

14

7

且k≠0（10分）
∴m=-

6k

1+4k2

=-

6

1 k +4k

∴當(dāng)-

14

7

≤k＜0時(shí)，

1

k

+4k≤-4
當(dāng)0＜k≤

14

7

時(shí)，

1

k

+4k≥4
∴-

3

2

≤m≤

3

2

，且m≠0（12分）
綜上所述，-

3

2

≤m≤

3

2

，且m≠0．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和求m的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱條件，解題時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用．