已知橢圓
x2
25
+
y2
9
=1，直線l：4x-5y+40=0，AB是直線l上的線段，且|AB|=2
41
，P是橢圓上一點，求△ABP面積的最小值．
分析：由直線l的方程和橢圓的方程易知，直線l與橢圓不相交，設直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0，與橢圓方程聯(lián)立，求出直線方程，再求出直線m與直線l間的距離，即可求△ABP面積的最小值．
解答：解：由直線l的方程和橢圓的方程易知，直線l與橢圓不相交，設直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0…（1）
由
4x-5y+k=0
x2
25
+
y2
9
=1
，消去y得25x2+8kx+k2-225=0…（2）
令方程（2）的根的判別式△=0，得64k2-4×25（k2-225）=0，
解之得k=25或k=-25，
容易知道k=25時，直線m與橢圓的交點到直線l的距離最近，此時直線m的方程為4x-5y+25=0，
直線m與直線l間的距離d=
|40-25|
42+52
=
15
41
41
，
所以(S△ABP)min=
1
2
|AB|d=
1
2
×2
41
×
15
41
41
=15．
點評：本題考查三角形面積的計算，考查直線與橢圓的位置關系，考查點到直線距離公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知動點P(x，y)在橢圓
x2
25
+
y2
16
=1上，若A點坐標為(1，0)，|
AM
|=1且
PM
•
AM
=0，則|
PM
|的最小值是
119
3
119
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知焦點在y軸上的橢圓方程為
x2
25-k
+
y2
k-9
=1，則k的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
25
+
y2
9
=1，過橢圓右焦點F的直線L交橢圓于A、B兩點，交y軸于P點．設
PA
=λ1
AF
，
PB
=λ2
BF
，則λ1+λ2等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P是
x2
25
+
y2
9
=1(x≠0，y≠0)上的動點P，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，O是坐標原點，若M是∠F1PF2的角平分線上一點，且
F1M
•
MP
=0，則|
OM
|的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓
x2
25
+
y2
9
=1，過橢圓右焦點F的直線L交橢圓于A、B兩點，交y軸于P點．設
PA
=λ1
AF
，
PB
=λ2
BF
，則λ1+λ2等于（　　）
A．-
9
25
B．-
50
9
C．
50
9
D．
9
25

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