Question

定義：若數(shù)列{A_n}滿足A_n+1=A_n²，則稱數(shù)列{A_n}為“平方數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{2a_n+1}是“平方數(shù)列”，且數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列．
（2）設(shè)（1）中“平方數(shù)列”的前n項之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數(shù)列{a_n}的通項及T_n關(guān)于n的表達式．
（3）記bn=log2an+1Tn，求數(shù)列{b_n}的前n項之和S_n，并求使S_n＞4020的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由條件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²，而由lgb_n+1=2lgb_n．可得

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2．，從而可得{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列．
（2）由（I）可求lga_n，進而可求a_n，利用對數(shù)的運算性質(zhì)可求lgT_n，進而可求T_n
（3）由（2）可求b_n=

lgTn

lg(2an+1)

，求出S_n代入不等式S_n＞4020可求n

解答：解：（1）由條件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．∴{b_n}是“平方數(shù)列”．
∴l(xiāng)gb_n+1=2lgb_n．∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2．∴{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列．
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，∴l(xiāng)g（2a_n+1）=2^n-1?lg5，
∴2a_n+1=52n-1，∴a_n=

1

2

（52n-1-1）
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）=

lg5?(1-2n)

1-2

=（2ⁿ-1）lg5．
∴T_n=5(-1+2n)
（3）b_n=

lgTn

lg(2an+1)

=

2n-1

2n-1

∴Sn=2n-2+

1

2n

＞4020
∴n的最小值為2011．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，分組求和的應(yīng)用，屬于知識的綜合應(yīng)用．