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【題目】蝴蝶定理因其美妙的構圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數學名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓的方程為，直線與圓交于，，直線與圓交于，.原點在圓內.

（1）求證：.

（2）設交軸于點，交軸于點.求證：.

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）聯(lián)立直線方程和圓的方程，求出兩根之和與兩根之積，找到相等代換量，從而證明成立.

（2）分別求出點和點的橫坐標表達式，結合（1）中得證結論，從而證明成立.

（1）已知圓的方程為，

直線與圓交于，，聯(lián)立，

化簡得，

則，，所以，

同理線與圓交于，，

聯(lián)立 化簡得，

則，，所以，

故有，所以成立；

（2）不妨設點，點，

因為、、三點共線，所以，化簡得，

因為點在直線上，所以，點在直線上，所以，

則，

同理因為、、三點共線，所以，化簡得，

因為點在直線上，所以，點在直線上，所以，

則，

又由，可得，，

即，所以，則，

所以，所以成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知為單位正方體，黑白兩只螞蟻從點出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”，白螞蟻爬行的路線是，黑螞蟻爬行的路線是，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段與第段所在直線必須是異面直線（其中是自然數），設黑、白螞蟻都走完2012段后各停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白兩只螞蟻的距離是______________．

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【題目】教育學家分析發(fā)現(xiàn)加強語文閱讀理解訓練與提高數學應用題得分率有關，某校興趣小組為了驗證這個結論，從該校選擇甲乙兩個同類班級進行試驗，其中甲班加強閱讀理解訓練，乙班常規(guī)教學無額外訓練，一段時間后進行數學應用題測試，統(tǒng)計數據情況如下面的列聯(lián)表（單位：人）

優(yōu)秀人數

非優(yōu)秀人數

總計

甲班

乙班

總計

（1）能否據此判斷有把握認為加強語文閱讀訓練與提高數學應用題得分率有關？

（2）經過多次測試后，小明正確解答一道數學應用題所用的時間在分鐘，小剛正確解答一道數學應用題所用的時間在分鐘，現(xiàn)小明、小剛同時獨立解答同一道數學應用題，求小剛比小明先正確解答完的概率；

（3）現(xiàn)從乙班成績優(yōu)秀的名同學中任意抽取兩人，并對他們的答題情況進行全程研究，記兩人中被抽到的人數為，求的分布列及數學期望．

附表及公式：

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓與直線相切于，且圓心在直線上.

（1）求圓的方程；

（2）已知直線經過原點，并且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數且是定義域為R的奇函數．

求k值；

若，試判斷函數單調性并求使不等式恒成立的t的取值范圍；

若，且在上的最小值為，求m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知偶函數，當時，，當時，．關于偶函數的圖象和直線的個命題如下：

①當時，存在直線與圖象恰有個公共點；

②若對于，直線與圖象的公共點不超過個，則；

③，，使得直線與圖象交于個點，且相鄰點之間的距離相等．

其中正確命題的序號是（ ）．

A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

甲班

10

乙班

30

總計

已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是(　　)

A. 列聯(lián)表中的值為30，的值為35

B. 列聯(lián)表中的值為15，的值為50

C. 根據列聯(lián)表中的數據，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”

D. 根據列聯(lián)表中的數據，若按的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，圓的圓心為．已知點，且為圓上的動點，線段的中垂線交于點．

（1）求點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，若四邊形的四個頂點都在曲線上，對角線，互相垂直并且它們的交點恰為點，求四邊形面積的取值范圍．

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