Question

2．已知△ABC，$AC=BC=\sqrt{2}a$，∠ACB=90°，過點A，B作線段AN，BM分別與△ABC所在的平面垂直，且AN=AB=2BM，E，F(xiàn)，P分別是線段NC，AB，MC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面MBC；
（Ⅱ）求異面直線AB與ME所成角的余弦值；
（Ⅲ）求四面體PBMF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取線段MN的中點Q，連接QE，QF，利用平面QEF∥平面MBC，證明EF∥平面MBC；
（Ⅱ）取AC的中點D，連接ED，DB，證明∠ABD就是異面直線AB，ME所成的角，利用余弦定理求異面直線AB與ME所成角的余弦值；
（Ⅲ）利用${S_{△FMB}}=\frac{1}{2}{a^2}$，點P到平面FMB的距離是點C到平面FMB的距離的一半，又C到平面FMB的距離就是FC，求四面體PBMF的體積．

解答 （Ⅰ）證明：取線段MN的中點Q，連接QE，QF，則QE∥MC，QF∥MB，
所以平面QEF∥平面MBC．
又因為EF?平面QEF，所以EF∥平面MBC．---------（4分）
（Ⅱ）解：取AC的中點D，連接ED，DB．
因為ED平行且等于$\frac{1}{2}AN$，MB平行且等于$\frac{1}{2}AN$，
所以ED平行且等于MB，從而四邊形EDMB是平行四邊形，
于是∠ABD就是異面直線AB，ME所成的角；
又因為$AD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a，AB=2a，BD=\sqrt{\frac{1}{2}{a^2}+2{a^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}a$，
所以cos$∠ABD=\frac{{A{B^2}+B{D^2}-A{D^2}}}{2AB•BD}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．------------（8分）
（Ⅲ）解：因為${S_{△FMB}}=\frac{1}{2}{a^2}$，點P到平面FMB的距離是點C到平面FMB的距離的一半，又C到平面FMB的距離就是FC，所以${V_{PBMF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a^2}×a=\frac{1}{6}{a^3}$．-----------（12分）

點評 本題考查平面與平面平行、線面平行的判定，考查異面直線AB，ME所成的角，考查四面體PBMF的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．