【題目】定義區(qū)間、、、的長度均為,已知不等式的解集為.
(1)求的長度;
(2)函數(shù)(,)的定義域與值域都是(),求區(qū)間的最大長度;
(3)關于的不等式的解集為,若的長度為6,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
解不等式得其解集即得區(qū)間長度.(2) 由題意求出f(x)的定義域并化簡解析式,判斷出
區(qū)間的范圍和f(x)的單調(diào)性,由題意列出方程組,轉(zhuǎn)化為m,n是方程f(x)的同號的相
異實數(shù)根,利用韋達定理表示出mn和m+n,由判別式大于零求出a 的范圍,表示出n﹣m
利用配方法化簡后,由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值和a的值.(3)先求出A∩B(0,6),再
轉(zhuǎn)化為不等式組,當x∈(0,6)時恒成立. 分析兩個恒成立問題即得t
的取值范圍.
解不等式得其解為-1≤x<6,所以解集A區(qū)間長度為6-(-1)=7.
(2) 由題意得,函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠0},
∵[m,n]是其定義域的子集,∴[m,n](﹣∞,0)或(0,+∞).
∵f(x)=在[m,n]上是增函數(shù),
∴由條件得,則m,n是方程f(x)=x的同號相異的實數(shù)根,
即m,n是方程(ax)2﹣(a2+a)x+1=0同號相異的實數(shù)根.
∴mn=,m+n==,
則△=(a2+a)2﹣4a2>0,解得a>1或a<﹣3.
∴n﹣m===
=,
∴n﹣m的最大值為,此時,解得a=3.
即在區(qū)間[m,n]的最大長度為.
(3) 因為x>0,A=[-1,6),的長度為6,所以A∩B(0,6).
不等式log2x+log2(tx+3t)<2等價于
又A∩B(0,6),不等式組的解集的各區(qū)間長度和為6,所以不等式組,
當x∈(0,6)時恒成立.
當x∈(0,6)時,不等式tx+3t>0恒成立,得t>0
當x∈(0,6)時,不等式tx2+3tx﹣4<0恒成立,即恒成立
當x∈(0,6)時,的取值范圍為,所以實數(shù)
綜上所述,t的取值范圍為
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【題目】已知函數(shù)(為常數(shù)),曲線在與軸的交點A處的切線與軸平行.
(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在不相等的實數(shù)使成立,試比較與的大小.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為為參數(shù),以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C的極坐標方程為.
求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程;
若直線l與曲線C交于A,B兩點,求線段AB的中點P到坐標原點O的距離.
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【題目】已知三棱錐底面的3個頂點在球的同一個大圓上,且為正三角形,為該球面上的點,若三棱錐體積的最大值為,則球的表面積為( )
A. B. C. D.
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【題目】在△中,角、、所對的邊分別為、、,給出四個命題:
(1)若,則△為等腰三角形;
(2)若,則△為直角三角形;
(3)若,則△為等腰直角三角形;
(4)若,則△為正三角形;
以上正確命題的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線的極坐標方程;
(2)設曲線與曲線的交點分別為,求的最大值及此時直線的傾斜角.
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【題目】某沿海地區(qū)的海岸線為一段圓弧,對應的圓心角,該地區(qū)為打擊走私,在海岸線外側(cè)海里內(nèi)的海域對不明船只進行識別查證(如圖:其中海域與陸地近似看作在同一平面內(nèi)),在圓弧的兩端點、分別建有監(jiān)測站,與之間的直線距離為海里.
(1)求海域的面積;
(2)現(xiàn)海上點處有一艘不明船只,在點測得其距點海里,在點測得其距點海里.判斷這艘不明船只是否進入了海域?請說明理由.
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