精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.
(1)證明:PA∥平面EDB;
(2)證明:PB⊥平面EFD.
(3)若AB=4,BC=3,求點(diǎn)C到平面PBD的距離.
分析:(1)連接AC,設(shè)AC∩BD=0,連接EO,底面是正方形,可得OE為△PAC的中位線,再利用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明,即可解決問(wèn)題;
(2)PD⊥平面AC,BC?平面AC,所以BC⊥PD,而BC⊥CD,PD∩CD=D,可得BC⊥平面PDC在△PDC為等腰三角形中證明DE⊥平面PBC,從而求證.
(3)O為BD的中點(diǎn),故CO⊥BD.面BCD⊥面PBD.得出CO為點(diǎn)C到平面PBD的距離.在Rt△BCD中,BC=3,CD=4,
由面積法得點(diǎn)C到平面PBD的距離即可.
解答:證明:(1)連接AC交BD與O,連接EO.精英家教網(wǎng)
∵底面ABCD是矩形,
∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).
又∵E是PC的中點(diǎn)
∴在△PAC中,EO為中位線
∴PA∥EO.(3分)
而EO?平面EDB,PA?平面EDB,
∴PA∥平面EDB.(5分)
(2)由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是矩形,
∴DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC,而DE?平面PDC,
∴BC⊥DE.①(8分)
∵PD=DC,E是PC的中點(diǎn),
∴△PDC是等腰三角形,DE⊥PC.②
由①和②得DE⊥平面PBC.
而PB?平面PBC,
∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD.(10分)
(3)O為BD的中點(diǎn),故CO⊥BD.
∵面BCD⊥面PBD.
∴CO為點(diǎn)C到平面PBD的距離.
在Rt△BCD中,BC=3,CD=4,
由面積法得:CO=
12
5

故 點(diǎn)C到平面PBD的距離為:
12
5
(14分)
點(diǎn)評(píng):此題考查直線與平面平行的判斷及直線與平面垂直的判斷,此類問(wèn)題一般先證明兩個(gè)面平行,再證直線和面平行,這種做題思想要記住,此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題,同學(xué)們要課下要多練習(xí).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長(zhǎng);
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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同步練習(xí)冊(cè)答案